江苏省教育学会初中 教育专业委员会第叁 届优秀教学案例评选
2．１ 勾股定理
常州市武进区礼嘉中学 陆菊南 邮编：213176
一．教学内容：本节课是苏科版《义务教育课程标准实验教科书·数学》八年级上册第二章第一节勾股定理。
二．教学目标：
（1）.知识目标
掌握勾股定理，能够熟练地运用勾股定理由直角叁角形的任意两边求得第叁边．能根据一已知边和另两未知边的数量关系通过方程求未知两边。
（2）.能力目标
通过探索勾股定理的过程，渗透数形结合的思想方法，增强逻辑思维能力，操作探究能力。
（3）.情感目标
通过了解我国古代在勾股定理研究方面的成就，激发热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想感情．通过定理的探索，培养学生的探索精神和和合作交流的能力。
教学重点：（1）、引导学生探索发现勾股定理。
（2）、验证勾股定理的方法。
教学难点：用形数结合的方法验证勾股定理及面积证法。
叁、教学方法
（1）、教师教法： 引导发现、尝试指导、实验探究相结合。
（2）、学生学法：积极参与、动手动脑与主动发现相结合。
四、教学过程：
（一）、创设情境，激发兴趣
师：在春暖花开的季节里，我们都有与朋友一起徜徉在美丽的花园中的生活体验，大家都一定都喜欢花草树木吧！下面请跟着老师一起走进我们的校园。（多媒体展示校园风光并老师介绍各种树木，）同样，数学中也有两棵美丽的树，称之为勾股树，你发现这两棵勾股树有什么特征？
图1 图2
生1：都是由正方形与直角叁角形构成的。
师： 2002年在北京召开了第24届国际数学家大会，图3是本届大会的会徽。图4是叁国时期赵爽为《周脾算经》作注时给出的“弦图”你能看出会标与弦图之间的什么关系吗？
图3 图4
生2：这两个图案差不多，我觉得这两个图都是由一个大正方形分割成四个全等的直角叁角形和一个小正方形。（学生十分投入，热情高涨）
师：本节课我们一起来解读弦图的奥秘
（二） 实践探索 猜想归纳
图5
生1：叁个正方形围成了一个直角形。
生2：两个小正方形里的小方格分别有9个和16个，大正方形里有小方格25个。因此两个小正方形的面积等于大正方形的面积。
图6
生3：正方形A和正方形B都有4个小方格，所以正方形A的面积和正方形B的面积都是4，而正方形C的面积是8，我也是数出来的。
生4：那多麻烦啊，我只要画出正方形C的两条对角线，就可看出正方形C是由4个等腰直角形组成的，而且这四个等腰直角叁角形的两腰都等于2，因此可算出面积为4×
生5：数格子也是挺方便的。我支持生1。
师：如图6，网格中仍然有一个直角叁角形，也分别以图中的直角叁角形叁边为边向外作正方形，请大家求出这叁个正方形的面积分别是多少？是如何计算的？
图7
生6：正方形A的面积和正方形B的分别是16和9，但正方形C中小方格的个数拼不出来，我不会算它的面积。
师：那画正方形的两条对角线，能否把正方形C的面积求出来呢？
生7：能够的，因为两条对角线把正方形C也分割成四个全等的等腰直角叁角形。
生8：不能够的，因为四个全等的等腰直角叁角形的直角边不在格线上，我们不知道两直角边的长，怎么算等腰直角叁角形的面积呀？
师：那我们能否用其它办法算正方形C的面积呢？
（小组合作，交流讨论）
师：提示一下，请大家回忆一下弦图，想一想。
生9：如图8我根据弦图把正方形C分割成四个全等的直角形和一个小正方形，因此正方形C的面积可以通过四个全等的直角形叁角形面积减去小正方形的面积，即4×
师：我们计算面积时，除了分割外，我们还可以用什么思想方法呢？
生10：我想到了可以补，如图9，我们把斜置的正方形补成一个大的正方形，然后正方形C的面积可以通过大正方形的面积减去四个全等的直角形叁角形面积，所以正方形C的面积是49-4×
A C B A C B
图8 图9
师：同学们都表现得非常好。都通过自己的思考与交流，运用了“补”和“割”的思想分别正确地求出正方形C的面积。这两种思想是求图形面积时常用的思想和方法。请同学们加以邻会和运用。
师：通过对图6和图7的面积的计算，大家有什么发现或者想法？
生11：我发现正方形A的面积加上正方形B的面积等于正方形C的面积。
生12：也就是说，在直角叁角开中，两直角边为边长的正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积。
师：这个猜想可靠吗？下面我们再来做个试一试。
（学生在网格中任意画一个直角叁角形，以叁边为边长向外作叁个正方形，并计算正方形的面积，老师投影展示并且师生共同评价。）
师：如果我们假设直角叁角形的直角边长分别为a和b，斜边为c，我们能不能得到一个对于a、 b、c的等式吗 ？
生13；a2＋b2＝c2
师：这个等式表明了什么？
生14：直角边为a的正方形的面积与直角边为b的正方形的面积之和等于以斜边为c的
正方形的面积。
生15：也就是两直角边的平方和等于斜边的平方。
师：我们刚刚通过作图、计算和演示探索出直角叁角形叁边的一个重要性质：“a2＋b2＝c2”。
生16突然站起来说：我觉得刚才探索的直角叁角形的两条直角边都是整数，如果是分数，那这个关系式还成立吗？
生17：我觉得肯定成立，没有必要验证，刚才我们在网格中验证了许多直角叁角形了。
一半学生都不同意生17的说法
生18：对了，我们仍然把直角叁角形放在网格中。只要把小方格细分可以了。
生19，怎么样细分法，如果我们碰到的直角叁角形的直角边为
师：网格的作用无非是直观明了，易于割补，便于计算，难道离开了网格，就没有办法割和补吗？请大家动动脑筋！回忆一下我们前面所学过的平方差公式是如何得出的？
（学生齐声回答：拼图。）
师：非常好。我们用什么图形拼，准备拼成怎样的图形？（学生交流讨论）
第一组代表：我们刚才用割和补计算大正方形面积时，大正方形里有四个全等的直角叁角形，因此我们这一组的拼图如下，设直角叁角形的直角边长分别为a和b，斜边为c，则大正方形的面积可表示为（a+b）²，也可表示为四个直角叁角形的面积与小正方形的面积，即
图10 图11
第二组代表：我们也是和第一组一样，用四个全等的直角形拼的，不过我们拼成的大正方形的边长是c，大正方形的面积可表示为c²，里面仍然有四个全等的直角形和一个小正方形，它们的面积之和是4×
得到a2＋b2＝c2
师：大家都回答得很好！实质上这两个拼图就是勾通股定理的验证过程，那么勾股定进已有了400多种证明方法，下节课我们一起去探讨更简捷的验证法。
（叁）、得出结论，学习致用
师：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。我们把这个定理称之为勾股定理， 又称是商高定理。（老师板书）那么这个定理的符号语言为
在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，
∴AC2+BC2＝ AB2 （或a2＋b2＝c2）
2、介绍“勾，股，弦”的含义，介绍古今中外对勾股定理的研究。
我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在叁千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于叁，股等于四，那么弦就等于五，即“勾叁、股四、弦五”，它被记载于我国古代着名的数学着作《周髀算经》中。
而西方称之为毕达哥拉斯定理，传说古希腊的数学家毕达哥拉斯有一次到朋友家做客，就是从方砖地上发现了这个问题，从而进行了证明。因此1955年发行的这枚邮票就是纪念数学家毕达哥拉斯。
练一练：
①答一答：求下图中的A或x：
（这道习题采用抢答形式，学生都乐意参与）
试一试：如图：一块长约
（1） 走斜“路”的客观原因是什么？为什么？
（2） 斜“路”比正路近多少？这么几步近路，值得吗
生20：走近路，直线型的路线短。
生21：不对，直线是无限长的，应说是两点之间线段最短。
师：非常好，下面我们请同学们自己演算第（2）题。（展示学生的过程）
生22：不值得，只相差五六步路。以后我再也不走近路了。（学生都哄堂大笑）
师：希望同学人人做起，从小事做起，爱护我们自己的家园。
④想一想：小明家新买了一部29英寸（
58厘米 46厘米 74厘米
生23：我从网上查到的：29英寸是指电视机的对角线长。
（通过学生的计算得出了正确的结论。）
（四）、总结回顾，内化提高
1、说说你对勾股定理的认识，谈谈你的学习感受。
生24：我学到了直角形的勾股定理，并且利用勾股定理计算直角形叁角形的边长。
生25：我会用“割”和“补”计算网格图形的面积，并且用拼图验证勾股定理。
生27：勾股定理是我国古代数学家最早发现的，说明我国古代在数学方面是比较发达的，现在有点落后了，但我们肯定会赶上去的，不久的将来我们在数学领域的发展会超过美国。
师：非常好！有志气，希望我们每一位同学努力学习，提高我们国家的综合实力。
2、布置作业：（1）P27 2、3
（2）上网查阅资料，思考并验证勾股定理的方法。
五：教学反思：
本节课的教学形式是以学生的合作探究活动为主，在课堂教学中，教师重视组织学生开展活动，让学生的兴趣在探究任务中产生，让学生的理解在集体讨论中得动加深。整堂课学生始终处于积极思维探究中。课堂结构采用了“情境创设—提出问题——实验操作——归纳验证——解决问题——课堂小结”的教学模式。特别指出在整个教学中，师生始终处于和谐、民主、平等的关系之中，教师对每位学生的发言都要给予充分的重视和鼓励，师生在愉快的“对话”中结束的。而需要指出的是：第一教师应指导学生在课堂交往中如何与同学合作，如何进行自主学习；第二是教师要进一步丰富社会科学知识，提高教育心理学和学习心理学水平，充满爱心，让学生感动，让学生学得兴趣、学得快乐。
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