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立足问题情境 落实核心素养

——“概率与统计”2020-2022年高考试题研究                    

摘要：《中国高考评价体系》中强调高考必须坚持引导教学，实现“以考促教、以考促学”的目的，促进立德树人根本任务的落实^[1]。为此，本文采用内容分析法、比较法等研究方法，对2020-2022年新高考数学试题进行比较研究，力求在今后的复习、教学中明晰考情方向，落实核心素养。研究发现：第一、以数学运算为基石，聚焦数据分析核心素养的考查；第二、试题以现实情境为主要载体，贴近时代、贴近社会、贴近生活，展示我国文化魅力和自信；第叁、知识点考查全面、数据分析素养水平层次分明、特色鲜明突出。根据研究结果，笔者在分析“概率与统计”考查方向基础上提出相关教学建议，希望对一线教师在后续复习、教学中有所启示。

关键词：高考真题；概率统计；核心素养；教学建议

引言：《中国高考评价体系》中强调高考必须坚持引导教学。通过高考考试改革，理顺教考关系、实现“以考促教、以考促学”的目的，促进立德树人根本任务的落实^[1]。由此，高考试题发挥着服务选才和引导教学的作用。故笔者对2020—2022年新高考滨、滨滨卷，全国甲卷（理）、全国乙卷（理）中概率统计试题进行整理研究，以期发现新高考试题中概率统计板块的考查特点，更好地引导复习教学，发挥学科育人的作用，落实立德树人根本任务。

一、“概率与统计”试题分析

1.2020年新高考概率统计试题分析

2.2021年新高考概率统计试题分析

3.2022年新高考概率统计试题分析

从2020-2022叁年试题对比中发现：

(1)考查题型和分值占比中2020-2022新高考I、I滨卷的考查题型有单选题、多选题、填空题和解答题四种,总分值22分,占试卷总分的14.6%,2020全国高考I、II、II滨卷的考查题型有单选题、填空题和解答题三种,总分值22分,占试卷总分的14.6%;2021、2022年全国甲卷和乙卷理科的考查题型有单选题、填空题和解答题三种,总分值22分,占试卷总分的14.6%.考查题型种类丰富,试题占比趋于稳定,“概率与统计”是高考考查的重要部分.

(2)考查内容中知识点全面，主要涉及古典概型、频率分布直方图、样本估计总体、数据的数字特征、2×2列联表、分层抽样、排列组合、独立事件概率乘法公式、独立性检验、正态分布、离散型随机变量的分布列。非解答题考查以概率为主干知识点，向外延伸，考查范围广，符合概率与统计“广而不深”的特点，解答题讲究知识的应用性与综合性，存在跨章节学科知识的交叉。

(3)情境类型中现实情境载体最多，顺应时代特征，突出概率统计在现实生活中的广泛应用性，同时充分体现了数学思政的要求，于问题情境中关注社会时事与经济发展，达到学科育人的目标。具体有如下特点:关注社会时事与经济发展。如“研究疾病与卫生习惯关系”，培养学生的社会责任感，强调卫生习惯的实际意义；贴近学生的日常生活，引起学生的共鸣，如“研究种子发芽率与温度关系”，让学生了解数学在日常生活中的实际应用; 与科技、生产相融合，如“机床生产以及研制新设备”，让学生认识数学应用的前沿性。

(4)核心素养中以数学运算为基石，聚焦数据分析核心素养的考查，同时也落实其他核心素养的考查。表明高考数学命题以时代特征为背景，重视概率与统计的实用性，更强调数学的“应用性”，让学生去运用所学的数学知识解决现实生活中的问题。

整体而言，新高考概率与统计聚焦数据分析核心素养，以现实情境为主要载体 ，在问题解决中让学生体会到数学的价值，突出数学学科育人目标。

 二、“概率与统计”考查方向 

1.选题立足基础，以多元性展示

概率统计的研究对象多为现实中的随机现象，因此所选取的问题情境既要立足现实生活与学生生活经验相关，又要与数学文化相结合，提高学生的数学素养。选取熟悉的、关联的、综合的情境，既能丰富学生的背景知识，又有利于数据分析在不同的情境中的运用，提升学生的核心素养。

例1.一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：

(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？

(2)从该地的人群中任选一人，表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，表示事件“选到的人患有该疾病”．与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为．

(i)证明：；

(ii)利用该调查数据，给出的估计值，并利用(i)的结果给出的估计值．

附，

考查意图：以疾病与卫生习惯关系为现实背景，设计概率统计综合问题，第(2)问的证明题使得整道题平稳又有所创新，给人耳目一新的感觉，但对考生来说略有压力。第(1)问着重考查学生对独立性分析内容的掌握；重在考查数据分析素养水平一的“知识与技能”中的能够对熟悉的统计问题，选择合适的抽样方法收集数据，掌握描述、刻画、分析数据的基本统计方法，解决问题；第(2)问第1小问问题新颖，需要学生用条件概率进行展开、变形，有利于学生思维深度和广度的提升；第2小问考查学生对数据的处理及条件概率公式的应用。整道题较好地落实数据分析和逻辑推理核心素养的考查，题型新颖，促进学生综合能力的发展。

2.层次分明渐进，提升学生素养

新课标创新地提出数学学业质量水平,从问题情境、知识技能、交流反思、思维表达四个方面将数据分析核心素养划分为叁个水平.因此试题考查会兼顾难度,让人人都参与,个个有收获,选取不同的问题考查数据分析素养水平,或者选取同一问题从不同角度考查数据分析素养水平.

例2.第19届亚运会将于2022年9月在杭州举行,志愿者的服务工作是亚运会成功举办的重要保障．某高校承办了杭州志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩,并按照,,,,分成五组,绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第二、叁、四组的频率之和为0.9,第一组和第五组的频率相同．

(1)求,的值;

(2)估计这100名候选者面试成绩的中位数,平均数（精确到0.1）;

(3)若先用分层随机抽样的方法从面试成绩在段的候选者中抽取6人,再从这6人中随机抽取2人,求这2人来自同一分数段的概率.

图2

考查意图：例2以2022年亚运会中志愿者选拔为背景,从侧面展现我国的软文化实力.以“频率分布直方图”为主题,递进式设问,考查知识全面.第(1)问侧重频率分布直方图的基础考查,第(2)问要求学生掌握频率分布直方图中位数及平均数的估计方法,要求学生结合熟悉的实例,掌握数据分析的基本方法,侧重考查素养水平一;第(3)问以分层抽样为基础,考查学生对信息的加工,以及对随机事件整体性的把握,侧重考查素养水平二.

3.聚焦时事热点，决策现实生活

概率统计问题来源于现实，应用于生活，背景开放。高考试题中主要以现实情境中的热点时事为主要载体来对概率统计进行考查。在现实生活中，人们对许多实际问题往往有多种解决方案，如何选择最佳方案？往往需要进行科学决策。利用概率进行决策就是一种科学决策的手段。为此，在教学中教师需要让学生如何进行科学决策，让数学的价值得以在现实显现，凸显数学学科育人功能。

例3.某学校组织“一带一路”知识竞赛，有，两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答类问题的概率为0.8，能正确回答类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.

(1)若小明先回答类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；

(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.

考查意图：本题以国家推动发展的“一带一路”为背景，组织有关“一带一路”的知识竞赛。结合时政，使学生在解决问题的同时了解我国发展战略，树立学生“四个自信”，潜移默化影响学生的价值观。本题具有阅读理解型问题特征，综合考查考生对概率统计基本知识的理解与应用、学生对信息的梳理能力、对数据的处理能力。第(1)问考查离散型随机变量及其分布列的定义和计算；第(2)问属于决策型问题，需要通过比较两类问题期望大小进行决策。让学生体会日常生活中处理问题的思路和方法，有利于激发学生数学学习的兴趣，充分体现数学学科的育人价值。

4.关注知识交融，树立创新意识

在新高考背景之下，知识之间的交融会更加紧密。在数学四大主线内容中，概率统计并不是独立存在的，它与函数、数学建模活动与数学探究活动主线内容联系紧密。此外概率与统计也是理工科和经济类学科的重要基础课程,应用之广，作用之大，因此必须开阔学生视野，树立创新意识。

例4.一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，．

(1)已知，求；

(2)设表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，是对于的方程：的一个最小正实根，求证：当时，，当时，；

(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义．

考查意图：例4聚焦概率统计与函数知识的交融，第(1)问较容易，考查随机变量均值的计算，第(2)问难度较大，借助随机变量的均值公式，利用函数与方程思想进行化归，研究函数零点问题。较好地落实高考的育人选拔功能，同时有利于学生综合能力与核心素养的提高。

叁、“概率与统计”教学建议

1.关注新旧变化，突出核心知识

以人教版为例，增加了分层随机抽样的样本均值和样本方差；百分位数；样本点，有限样本空间；乘法公式，全概率公式等内容。删减了统计中的系统抽样、变量的相关性；概率中的几何概型；计数原理中的计数原理解决简单的实际问题等内容。降低了概率中的超几何分布及计数原理等内容的考查要求。调整了一些内容的编排次序，比如人教版新教材将独立事件安排在条件概率之前，这是人教版在“独立事件”章节安排中最明显的变化。

在教学中，教师应关注新旧教材的主要变化，包括知识体系、内容、例题、习题，突出概率与统计中核心知识，例如概率中的核心（概率模型）；概型（古典概型）；叁种事件（互斥、对立、相互独立事件）；四种分布（超几何分布、二项分布、两点分布、正态分布）。聚焦数据分析核心素养，通过具有现实意义和科学背景的案例，着重让学生完整地参与数据分析的全过程，逐步走向独立分析和灵活运用，促进数学核心素养的发展。

2.注重知识整合，建构完整体系

概率与统计是高中数学课程的主线内容之一，也是新高考考查的重点及难点。考查知识点丰富，以生物、科学等跨学科知识为背景，与函数、数列等有着明显的渗透交汇，旨在树立学生学科交融的意识。此外概率与统计中知识点较多、分布较广，学生往往迷失在知识林中，对知识的理解性还有待提高。

在教学中，教师可以让学生课前利用思维导图先梳理核心知识点，课上教师对学生的知识体系进行点拨和补充，帮助学生强化及建构完整的知识体系。同时在复习时要强化概率统计与其它章节知识的联系，深化学生对数学概念的理解。除此之外，教师应注重信息技术在概率统计教学中的深度融合，利用统计软件计算复杂数据，提高课堂效率，同时促进学生对统计思想的体会。

3.丰富问题情境，凸显育人目标

数学学科育人目标主要包括培育学生数学核心素养，增强学生发现、提出、分析、解决问题的能力。学生获取数学核心素养与提高“四能”依赖于经验的积累，而经验植根于情境之中^[2]。概率统计的现实性和广泛应用性为高考试题中问题情境的创设提供了天然的优势。新高考概率与统计试题的情境设置以现实情境居多，贴近学生日常生活，聚焦时事热点，引导学生利用概率统计知识解决现实问题，强调数学的实际应用性，突显出数学学科育人的目标。

在教学中，教师应尤其关注情境对学生解决问题的影响。为此，应创设贴近时代、社会、生活的生活实践或学习探索问题等典型情境，将新旧问题最大化的呈现，最大限度地调动学生的思维，让学生能够在情境中发现并解决问题；同时还可以创设陌生情境，培养学生的创新思维，提高分析解决问题的能力^[3]。在情境的设问方式上，要采取多样性，给予学生充分的思考空间，让他们在小组探究、合作中学习，使学生的关键能力得到综合发展，落实数学学科育人目标。

4.重视阅读理解，提升审题能力

新高考中概率与统计解答题文字篇幅长、信息含量大、符号图表密集、运算过程复杂、参考数据冗长、涉及公式较多^[4]。学生读题、审题能力的欠缺是造成概率统计试题失分的主要原因之一。

在教学中，教师应加强学生阅读能力的培养。通过阅读发现和提出概率统计问题。例如可以利用苏教版上的数学阅读《杨辉叁角》，既能培养学生的阅读素养加深对二项式定理性质的理解，又能在阅读中领略我国古代数学家的智慧，提高学生的文化自信。再比如利用人教版上的阅读与思考《贝叶斯公式与人工智能》，尽管贝叶斯公式为选学内容，但其是当下最热门人工智能理论背后的基本原理，通过阅读既能让学生去感悟相关的数学文化、拓展视野，同时也能让学生感受概率统计和数学学科在现代社会强大的基础和应用能力，提升学生的学习动力及兴趣。

 5.回归知识本质，落实核心素养

新高考试题的考查聚焦知识的本质，引导学生从数学学科视角分析、解决问题。概率统计的本质是随机性的数学思维。新高考数学中所涉及的概率分布随机模型，皆是对现实随机问题的抽象凝练，充分体现了数学之美，彰显了数学的实用性。

在教学中，教师应利用启发式、鼓励式教学帮助学生走出舒适区，转变固有的思维方式，激发他们的随机性思维的意识。在研究典型问题时，教师要完整地呈现思考方向和推理过程，引导学生大胆尝试，帮助他们形成知识闭环。例如在讲授全概率公式时，教师通过旧知复习、情境创设、抽象概括和概念构建后，在完整展示推导过程中，应帮助学生厘清全概率公式的本质—综合运用加法、乘法公式解决“多因一果”的概率问题，完整体会全概率公式形成过程，为后续问题的解决提供范例。

四、总结

概率统计问题聚焦以数据分析为主的核心素养，是综合考查学生用数学眼光观察问题、用数学思维分析问题、用数学语言表达问题、用数学知识解决问题的有效途径，也是优化思维品质、培养核心素养的经典范例^[5]。

通过对2020-2022叁年高考试题研究，发现2023年及未来高考聚焦以数据分析核心素养为主的概率统计考查；试题以现实情境为主要载体，贴近时代、贴近社会、贴近生活，展示我国文化魅力和自信；知识点考查全面、数据分析素养水平层次分明、特色鲜明突出。在考查方向上呈现选题立足基础，以多元性展示；层次分明渐进，提升学生素养；聚焦时事热点，决策现实生活；关注知识交融，树立创新意识的特点。在后续复习教学中，教师一方面要重视回归教材、精细概念、强化阅读、落实细节、渗透思想、培养素养，以不变应万变；另一方面也要依托现实情境，在问题解决中让学生体会到数学在现实生活中的意义和作用，突出数学的价值。

参考文献

[1]教育部考试中心.中国高考评价体系说明[Z].北京：人民教育出版社，2019.

[2]叶立军, 赵亚婷. 数据分析观念下新高考"概率与统计"试题特征及启示——以2020年和2021年新高考全国卷为例[J]. 中学数学月刊, 2021(11):5.

[3]李健, 童莉. 高考评价体系中"应用性"与"创新性"要求的落实——基于2020年高考数学试卷中问题情境的分析[J]. 基础教育课程, 2020(15):5.

[4]王淼生, 周翔. 近年高考概率统计试题分析及2022年高叁复习建议[J]. 中学数学杂志, 2022(3):8.