双曲线的几何性质
执教者：佘谱颖 班级：高二（3）班
一、教学目标：
（1）掌握双曲线的简单几何性质；
（2）理解双曲线的渐近线及离心率的意义；
（3）通过学习双曲线的几何性质，培养直观想象、数学运算核心素养；
（4）借助双曲线几何性质的应用及直线与双曲线位置关系的应用，提升直观想象及数学运算、逻辑推理核心素养
二、教学重难点：
（1）双曲线的几何性质的应用；
（2）双曲线的离心率及离心率的取值范围；
（3）直线与双曲线的位置关系；
叁、创设情境：
水塔的纵切面是双曲线，双曲线是非常优美的曲线，也是我们在生产生活中经常用到的曲线，因此，我们有必要探究其有怎样的特性．
你能否类比椭圆的几何性质去猜想双曲线有哪些几何性质？
四、提炼新知：
知识点1：双曲线的几何性质
标准方程 | －＝1(a＞0，b＞0) | －＝1(a＞0，b＞0) | |
图形 |
|
| |
标准方程 | －＝1 (a＞0，b＞0) | －＝1 (a＞0，b＞0) | |
性质 | 范围 | ||
对称性 | 对称轴： ，对称中心： | ||
顶点 | ， | ， | |
轴长 | 实轴长＝ ，虚轴长＝ | ||
离心率 | |||
渐近线 | y＝±x | ||
知识点2：等轴双曲线
(1)定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线．
(2)性质：在双曲线的标准方程－＝1中，如果a＝b，那么方程可化为x2－y2＝a2，此时双曲线的实轴长和虚轴长都等于2a，且两条渐近线互相垂直．
知识点3：直线与双曲线的位置关系
将y＝kx＋m与－＝1联立消去y得一元方程(b2－a2k2)x2－2a2kmx－a2(m2＋b2)＝0．
Δ的取值 | 位置关系 | 交点个数 |
k＝±时 | 相交 | 只有 交点 |
k≠±且Δ＞0 | 有 交点 | |
k≠±且Δ＝0 | 相切 | 只有 交点 |
k≠±且Δ＜0 | 相离 | 公共点 |
五、例题解析：
例1：求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．
例2：求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为；
(2)两顶点间的距离是6，两焦点的连线被两顶点和中心四等分；
(3)与双曲线－＝1有共同的渐近线，且过点(－3，2)．
例3：(1)已知双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，则其离心率为________．
(2)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F(c，0)到一条渐近线的距离为c，求其离心率的值．
例4：已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1．
(1)若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
(2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值．
六、当堂训练：
1. 若等轴双曲线的一个焦点是F1(－6，0)，则它的标准方程是( )
A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1
2. 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)虚轴长为12，离心率为；
(2)焦点在x轴上，离心率为，且过点(－5，3)；
(3)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x．
3. 过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P．若点P的横坐标为2a，则C的离心率为________．
七、课堂总结：
八、课后作业
1. 完成课堂新坐标配套作业双曲线的几何性质A、B题组（p181-182）
九、课后思考
1.已知双曲线－y2＝1，求过点A (3，－1)且被点A平分的弦MN所在直线的方程.
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