透彻理解教材，解决高考中的应用题
常州市武进区礼嘉中学 庄晓燕、庄常澄
摘要 高考数学应用题的考查，反映了对学生素质考查的要求，有利于区分考生的水平，有利于中学教学质量的提高.五年来应用题命题经验表明，应用题命题可总结出如下特点和命题原则：选题要有时代气息，有教育价值；要创设新颖情景，能考查实际能力;要密切结合课本，考查本学科重点内容；涉及的数学知识与方法要有一定的深广度，要有综合性；要注意应用层次，控制试题难度；要注意数学语言考查;注意取材背景公平。总之，既要求体现选拔功能，又能促进应用意识的培养。
关键词 数学教材 应用题
&苍产蝉辫;&苍产蝉辫;&苍产蝉辫;&苍产蝉辫;数学应用题是以实际问题为背景材料，集抽象思维、逻辑思维等，以及各学科综合能力的求解题。应用题每年在高考中都能见到，但考生得分率一直很低，凸显出学生解决实际问题的能力和应用题的解答规范。其实很多应用题在教材中都有体现，熟练掌握这些题目可以提高得分率。
&苍产蝉辫;&苍产蝉辫;&苍产蝉辫;&苍产蝉辫;一、教材例题中的应用问题
&苍产蝉辫;&苍产蝉辫;&苍产蝉辫;&苍产蝉辫;例题中安排应用问题，一方面可以培养学生阅读能力、分析问题、解决问题的能力，培养学生的应用意识，而且通过范例讲解，使学生掌握解决应用问题的一般思想和方法。新教材的五册必修内容中共有50多个例题是涉及数学应用的。从远古的金字塔、韩信点兵到“神五上天”，从人的衣、食、住、行到健身娱乐，有抗洪、环保、地震到机器人，通货膨胀等。它们都非常接近学生的生活实际和所学知识，难易适中，示范性强。
二、高中数学常见的应用题解题策略
1.有关地球的体积、面积、经纬度等实际计算问题，可以多考虑应用立体几何方面的知识。
2.涉及增长率的实际问题，可以多考虑应用数列的相关知识，一般多为等差或等比数列及简单的递推知识。
3.对于产量、物价、路程等实际问题，通常会联系到方程、函数、不等式的相关知识，可以通过分析实际问题，列出解析式的相关知识进行解决。
4.对于测量、航行，物理中的振动、摆动问题，可以从叁角函数的相关知识考虑解题思路。
叁、高考中与教材相关的应用题
1.以分式函数为载体的函数应用题
例1.近年来，某公司每年消耗电费约24万元， 为了节能减排， 决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本公司电网， 安装这种供电设备的工本费(单位: 万元)与太阳能电池板的面积(单位: 平方米)成正比， 比例系数约为0.5. 为了保证正常用电， 安装后采用太阳能和电能互补供电的模式. 假设在此模式下， 安装后该公司每年消耗的电费（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积(单位:平方米)之间的函数关系是为常数). 记为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村15年共将消耗的电费之和.
（1）试解释的实际意义， 并建立对于的函数关系式；
（2）当为多少平方米时， 取得最小值？最小值是多少万元？
2.以分段函数为载体的函数应用题
例2. 在等边中，=6cm，长为1cm的线段两端点都在边上，且由点向点运动（运动前点与点重合），，点在边或边上；，点在边或边上，设.
（1）若面积为，由围成的平面图形面积为，分别求出函数的表达式；
（2）若四边形为矩形时，求当时， 设，求函数的取值范围 .
3.&苍产蝉辫;以二次函数为载体的函数应用题
例3.轮滑是穿着带滚轮的特制鞋在坚硬的场地上滑行的运动．如图，助跑道ABC是一段抛物线，某轮滑运动员通过助跑道获取速度后飞离跑道然后落到离地面高为1米的平台上E处，飞行的轨迹是一段抛物线CDE（抛物线CDE与抛物线ABC在同一平面内），D为这段抛物线的最高点．现在运动员的滑行轨迹所在平面上建立如图所示的直角坐标系，轴在地面上，助跑道一端点A(0，4)，另一端点C(3，1)，点B(2，0)，单位：米．
（1）求助跑道所在的抛物线方程；
（2）若助跑道所在抛物线与飞行轨迹所在抛物线在点C处有相同的切线，为使运动员安全和空中姿态优美，要求运动员的飞行距离在4米到6米之间（包括4米和6米），试求运动员飞行过程中距离平台最大高度的取值范围？（注：飞行距离指点C与点E的水平距离，即这两点横坐标差的绝对值．）
4.以叁角函数的图象为载体的叁角应用题
例4. 如图，摩天轮的半径为，点距地面的高度为，摩天轮做匀速转动，每转一圈，摩天轮上的点的起始位置在最低点处.
（1）试确定在时刻时点距离地面的高度；
（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点距离地面超过？
（3）求证：不论为何值，是定值.
5.以解叁角形为载体的叁角应用题
例5. 在路边安装路灯，灯柱与地面垂直，灯杆与灯柱所在平面与道路垂直，且
，路灯采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知，路宽米，设灯柱高（米），（）.
（1）求灯柱的高（用表示）；
（2）若灯杆与灯柱所用材料相同，记此用料长度和为，求对于的函数表达式，并求出的最小值．
6. 以立体几何为载体的三角应用题
例6. 某部门要设计一种如图所示的灯架，用来安装球心为，半径为R（米）的球形灯泡．该灯架由灯托、灯杆、灯脚叁个部件组成，其中圆弧形灯托所在圆的圆心都是、半径都是R（米）、圆弧的圆心角都是θ（弧度）；灯杆EF垂直于地面，杆顶E到地面的距离为h（米），且；灯脚FA1，FB1，FC1，FD1是正四棱锥F - A1B1C1D1的四条侧棱，正方形A1B1C1D1的外接圆半径为R（米），四条灯脚与灯杆所在直线的夹角都为θ（弧度）．已知灯杆、灯脚造价都是每米（元），灯托造价是每米（元），其中都为常数．设该灯架的总造价为（元）．
（1）求对于的函数关系式；
（2）当取何值时，取得最小值？
6.以追击问题为载体的叁角应用题
例16. 如图，是沿太湖南北方向道路，为太湖中观光岛屿， 为停车场，km．某旅游团游览完岛屿后，乘游船回停车场Q，已知游船以km/h的速度沿方位角的方向行驶， ．游船离开观光岛屿3分钟后，因事耽搁没有来得及登上游船的游客甲为了及时赶到停车地点与旅游团会合，立即决定租用小船先到达湖滨大道M处，然后乘出租汽车到点Q(设游客甲到达湖滨大道后能立即乘到出租车)．假设游客甲乘小船行驶的方位角是，出租汽车的速度为66km/h．
（1）设，问小船的速度为多少km/h时，游客甲才能和游船同时到达点Q；
（2）设小船速度为10km/h，请你替该游客设计小船行驶的方位角，当角余弦值的大小是多少时，游客甲能按计划以最短时间到达．
&苍产蝉辫;&苍产蝉辫;&苍产蝉辫;&苍产蝉辫;7.数列应用题
例7. 在金融危机中，某钢材公司积压了部分圆钢，经清理知共有2009根.现将它们堆放在一起.
（1）若堆放成纵断面为正叁角形(每一层的根数比上一层根数多1根)，并使剩余的圆钢尽可能地少，则剩余了多少根圆钢？
（2）若堆成纵断面为等腰梯形(每一层的根数比上一层根数多1根)，且不少于七层，
（Ⅰ）共有几种不同的方案?
（Ⅱ）已知每根圆钢的直径为10cm，为考虑安全隐患，堆放高度不得高于4m，则选择哪个方案，最能节省堆放场地？
&苍产蝉辫;&苍产蝉辫;&苍产蝉辫;&苍产蝉辫;8.线性规划应用题
例8. 某公司计划2010年在甲、乙两个电视台做广告总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？
&苍产蝉辫;&苍产蝉辫;&苍产蝉辫;&苍产蝉辫;9.解析几何应用题
例9. 如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状.
（1）若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？
（2）若最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？（半个椭圆的面积公式为）
&苍产蝉辫;&苍产蝉辫;&苍产蝉辫;&苍产蝉辫;总之，数学应用题具有极高的实践考察价值，是对学生自身掌握知识点的考察，因此解决数学考试中的应用题，掌握合适的策略，对于学生自身来说也相当重要，熟练掌握教材中的应用题更可以达到事倍功半的效果。
参考文献
摆1闭王瑞生.《例谈高考数学应用题解题策略》2011.3《中学课程辅导》
摆2闭贾燕.《例谈高考数学应用题解题策略》2014.7《数理化学习》
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