“动点背景下的线段长度(最值)求解方法”再探
武进礼嘉中学 黄燕钧 213176
求动点背景下的线段长度或最值，是历年中考和模考考查中，学生最难理解和掌握的内容.动点背景下的线段长度最值研究切入点，本人觉得可以从动点在运动过程中，它的运动轨迹会形成怎样的几何图形作为突破口，比较符合我们学生的思维模式.我们知道，在中考考纲范围内，无论是单动点，还是双动点现象，动点在运动过程中，它的运动运动方式可以分为叁种：平移，翻折、旋转.而它的运动轨迹，也不外乎有两种：一是直线型；二是曲线型（主要是圆）.
1 动点的运动轨迹是直线型
此类动点问题中的已知动点在一条线段或直线上运动，而我们在研究另一个与之相关联的动点的运动轨迹时，我们可以尝试作出图形，在作图过程中，利用了叁角形的全等变换或者是相似变换，根据图形能够初步判断它运动的轨迹也是在一条线段或直线上.
例题1：如图1，边长为4的等边△ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转600得到BN，连接HN，则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值为 .
解析：此题，利用了全等变换：旋转变换.
以BH为边，作等边△BHH/，连接AN、NH/.
∵∠MBN=600,∠贬叠/=600, ∴∠MBH=∠NBH/,
∵叠惭=叠狈,∠惭叠贬=∠狈叠贬/,BH=BH/.
∴∠叠惭贬=∠叠狈贬/.
同理可证：△CBM≌△ABN.∴∠颁惭叠=∠础狈叠. 图1 图2
∵∠叠惭颁+∠叠惭贬=1800,∴∠础狈叠+∠叠狈贬/=1800.
∴点A、N、H/叁点在一直线上，即点N始终在直线AH/上运动.
∴线段HN的最小值即为点H到直线AH/的距离.
∵础贬=2,∠贬础贬/=∠叠颁惭=300,
∴贬狈=础贬=×2=1.
例题2（2013，湖州）如图3，已知点A是第一象限内横坐标为2的一个定点，础颁⊥虫轴于点M，交直线测=﹣虫于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠础笔叠=30°，叠础⊥笔础，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是 ．
解析：（1）首先，需要证明线段GH就是点B运动的路径（或轨迹），如图所示．分别作出当点P分别与O点、N点重合时的图形，利用相似叁角形和叁点共线的方法可以证明；
（2）其次，如图4所示，利用相似叁角形△AGH∽△础翱狈，求出线段GH的长度，即点B运动的路径长．
图3 图4
由题可知，OM=，点N在直线测=﹣虫上，AN⊥虫轴于点M，则△OMN为等腰直角叁角形，∴翱狈=翱惭=×=．
如图所示，当动点P在O点时，点B的位置为点G；动点P在N点时，点B的位置为H，连接GB、BH．
现在来证明线段GH就是点B运动的路径（或轨迹）．
∵础翱⊥础G，础笔⊥础叠，∴∠OAG=∠PAB=900，∴∠OAP=∠GAB
又∵AG=础翱?迟补苍30°，础叠=础笔?迟补苍30°，∴AG：AO=AB：AP，
∴△AB0Bi∽△础翱笔，∴∠ABG=∠础笔O．
同理可证△ABH∽△础PN，∴∠ABH=∠础PN，
∵∠APN+∠础PO=1800,
∴∠ABH+∠础BG=1800，
∴点G、B、H叁点在一直线上，即线段GH就是点B运动的路径（或轨迹）．
接下来，我们求线段GH的长度.
∵础翱⊥础G，础狈⊥础H，∴∠OAG=∠NAH=900，∴∠OAN=∠GAH
又∵AG=础翱?迟补苍30°，AH=础狈?迟补苍30°，∴AG：AO=AH：AN=tan300=，
∴△AGH∽△础翱狈，且相似比为迟补苍30°=，
∴GH=ON?迟补苍30°=×=．
2 动点的运动轨迹是曲线型
2.1此类动点问题中的已知动点在已知圆周上运动，而我们在研究另一个相关联的动点的运动轨迹时，我们可以根据题目中的条件分析，结合圆的“集合”定义，能够初步判断它运动的轨迹也在圆周上.
例题3:如图5，在搁迟△础叠颁中，∠ACB=900,AC=4,BC=6.点D是BC边的中点，点E是AB边上的任意一点（点E不与点B重合），沿DE翻折△DBE使点B落在点F处，连接AF，则线段AF的最小值为 .
解析：本题看似双动点，但是仔细分析，动点
F的运动轨迹与动点E没有关系，因为点D是
线段BC的中点，所以CD=BD；因为翻折，所以
△FDE≌△BDE，所以，FD=BD；因此FD=CD=BD,
根据圆的定义：到定点的距离等于定长的点的
轨迹是圆，∴动点F在以D为圆心，FD为半径
的圆上，问题得以解决. 图5
解：∵D是BC中点，BC=6，∴BD=CD=BC=3.
∵翻折 ∴△FDE≌△BDE，∴FD=BD
∴FD=CD=BD
根据圆的定义：到定点的距离等于定长的点的
轨迹是圆，
∴动点F在以D为圆心，FD为半径的圆上.
∴AF的最小值为AN=AD-DN.
在搁迟△ACD中，∠ACD=900,AC=4,CD=3,
∴AD=, 图6
∴AN=AD-DN=5-3=2.
2.2此类动点问题中的已知动点在已知圆周上运动，而我们在研究另一个相关联的动点，它的运动轨迹时，我们同样利用了叁角形的全等变换或者是相似变换，可以尝试作出图形，结合圆的“集合”定义，能够初步判断它运动的轨迹也在圆周上.
例题4：如图7，点O为坐标原点，⊙O的半径为1，点A（2，0），动点B在⊙O上，连接AB，作等边△ABC(A，B，C为顺时针顺序)，求OC的最大值与最小值.
解析：动点B在⊙O上时，动点C也随之运动.我们可以利用全等变换之旋转变换，构造全等叁角形连接OB，把△OAB绕点A顺时针旋转
600.
∴DC=OB=1，即动点C到定点D的距离为定值1.根据圆的
定义，从而可知动点C在以D为圆心，DC为半径的圆上.
OC的最大值与最小值，就是求圆外一点到圆上的一点的
最大距离和最小距离.
∴OC的最大值为：OD+DC=2+1=3，最小值为：OD-DC=2-1=1. 图7
例题5：如图8，AB=4，O为AB的中点，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一动点，以点P为直角顶点的等腰直角△PBC(P，B，C为顺时针顺序)，则线段AC长的取值范围是 .
解析：动点B在⊙O上时，动点C也随之运动.我们可以
利用相似变换之旋转变换，构造叁角形，把△BPC以点
B为位似中心，按逆时针方向旋转450，再放大倍.
解：以OB为直角边作等腰搁迟△BOD，连接OP、DC、AD.
∴，，∠笔叠颁=∠顿叠翱=450，
∴∠笔叠翱=∠颁叠顿，, 图8
从而可知动点C在以D为圆心，DC为半径的圆上.
∵AD=.
∴线段AC的取值范围为：.
即：.
2.3此类动点问题中的已知动点在运动过程中，与两个已知定点连接而形成的角是直角，也就是“等张角”现象：即动角在运动过程中，角的大小始终不变，结合圆周角定理“直径所对的角是直角；直角所对的弦是直径”，我们能够初步判断它运动的轨迹也在圆周上：即以线段为直径的圆.
例题6：如图9，已知△ABC，外心为O，BC=10,∠BAC=600,分别以AB、AC为腰形外同侧作等腰直角叁角形△ABD与△ACE,连接BE，CD交于点P，
则OP的最小值为 .
图9 图10
解析：初看题目条件，可能认为不是双动点问题，但仔细分析一下，我们不难发现根据“BC=10,∠BAC=600”的条件，满足条件的叁角形有无数个，也就是“等张角”现象，根据题目条件点A在以O为圆心BC为弦的圆周上运动；而当点A运动时，P点也随之运动；根据题目条件，我们可以证明∠BPC=900,∠BPC的大小是确定不变的---“等张角”现象，结合圆周角定理“直径所对的角是直角；直角所对的弦是直径”，我们可以说明点P在以BC为直径的圆周上运动（B、C两点除外）。因此，问题得以解决.
解：∵△ABD与△ACE都是等腰直角叁角形，
∴AB=AD，AC=AE,∠DAB=∠CAE=900.
∵∠DAB=∠CAE=900 ,∴∠DAC=∠BAE.
∴△DAC≌△BAE.
∴∠ADC=∠ABE.
∵∠AQD=∠BQP,
∴∠BPQ=∠DAQ=900。
∵∠BPC+∠BPQ=1800,
∴∠BPC=900.
根据圆周角定理“900的圆周角所对的弦是直径”
可以得到，点P在以BC为直径的圆上.
当点O1、O、P叁点处于一直线时，OP取得最小值.
我们可以根据解直角叁角形的方法求出OO1=,而O1P=.
∴OP的最小值=O1P-OO1=-.
动点背景下的线段长度或最值问题，题型新颖，类型丰富，不同的类型有不同的解决方法，解决方法的选择与动点的运动轨迹存在着密切的联系.我们在解决问题时，首先要理清动点的运动轨迹：直线型、圆型，再结合具体方法，才能有的放矢，事半功倍.
作者单位：常州市武进区礼嘉中学 邮箱：飞箩濒箩锄虫丑测箩蔼调域名已经过期皑
手 机：13813685069 邮编：213176
发表杂志：初中数学教与学2017.3
关闭窗口
打印文档