一、问题的提出
在运动变化中，动点到直线、圆的距离会发生变化，在变化过程中，就会出现一些最值问题，如距离最小，最大等常常涉及圆上一点到直线的距离最值问题、切线长最值问题、圆上动点与其他曲线两动点间的距离最值问题、过定点的圆的弦长最值问题等.这些问题常常利用平面几何知识或圆的参数方程或设圆上点的坐标，直接求出最值或转化为函数的最值问题，利用函数求最值的方法求解,与圆有关的长度最值问题有以下题型：
二、问题的探源
这些与圆有关的最值问题常常利用平面几何知识或圆的参数方程或设圆上点的坐标，直接求出最值或转化为函数的最值问题，利用函数求最值的方法求解。
三、问题的佐证
1.已知含参数直线与圆位置关系，求直线方程中参数取值范围问题
画出圆图像，利用直线过定点，结合图像即可确定直线方程中满足的条件，利用直线与圆的位置关系和点到直线的距离公式，列出对于参数的不等式或方程，即可求出参数的范围.
例1若直线与曲线恰有三个公共点，则实数的取值范围是 .
思路分析：直线与曲线恰有三个公共点，实数的取值范围，可以转化为直线的图象与曲线的图象有三个交点时实数的取值范围，作出两个函数的图象，通过图象观察临界直线，从而求出的取值范围；本题曲线的图象是易错点，
画图时要分类讨论，知图象由椭圆的上一部分与双曲线的上部分组成．
解析：由题意知，曲线的图象由椭圆的上一部分与双曲线的上部分组成，故直线与曲线恰有三个公共点的临界直线有：当直线过点时，即，故；当直线与椭圆的上部分相切，即，即，时，此时，故实数的取值范围是.
点评：本题主要考查的是直线与圆锥曲线的位置关系，属于中档题
2.已知点满足与圆有关的某个条件，求圆中参数或点的坐标的取值范围问题
作出相应的图形，利用数形结合思想找出圆中相关量，如圆心坐标、圆心到某点距离、圆的半径、圆的弦长或圆的弦心距等满足的条件，列出不等式或方程或函数关系，再利用相关方法求出参数的范围.
例2 设点，若在圆上存在点，使得，则的取值范围是 .
思路分析：作出图像，由图知，圆心O到直线ON的距离小于等于1，从而得出，列出对于的不等式，即可解出的范围.
解析：依题意，直线与圆有公共点即可，即圆心到直线的距离小于等于即可，过作，垂足为，在中，因为，故，所以，则，解得.
点评：本题主要考查了直线与圆的位置关系及数形结合思想，解决本问题的关键是通过数形结合找出点M满足的条件.
3. 与距离有关的最值问题
在运动变化中，动点到直线、圆的距离会发生变化，在变化过程中，就会出现一些最值问题，如距离最小，最大等常常涉及圆上一点到直线的距离最值问题、切线长最值问题、圆上动点与其他曲线两动点间的距离最值问题、过定点的圆的弦长最值问题等.这些问题常常利用平面几何知识或圆的参数方程或设圆上点的坐标，直接求出最值或转化为函数的最值问题，利用函数求最值的方法求解,与圆有关的长度最值问题有以下题型：
①圆外一点到圆上距离最近为，最远为；
②过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短为该点为中点的弦；
③直线与圆相离，则圆上点到直线的最短距离为圆心到直线的距离，最近为；
④过两定点的所有圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆的面积.
⑤圆上动点与其他曲线两动点间的距离最值问题常转化为圆心与曲线上的动点距离问题，利用两点间距离公式转化二元函数的最值问题，利用消元法转化一元函数在某个区间上的最值问题求解.
例3 在平面直角坐标系中，设点为圆：上的任意一点，点，其中，则线段长度的最小值为 .
思路分析：由首先要看出是直线上的点，要求长度的最小值实质上是求圆上的点到直线的距离的最小值为，
则，长度的最小值为．
解析：显然是直线上的点，圆心，半径为，圆心到直线的距离为，所以长度的最小值为.
点评：本题表面上考查两点间距离，实质上由圆的几何性质知，与圆上的点有关的距离的最值问题都要与圆心联系起来，直线与圆相离时，圆心到直线的距离为，圆半径为，则圆上的点到直线的距离的最大值为，最小值为．另外动点问题，要注意的是动点必在某条曲线上，找到这条曲线后可借助曲线的性质分析、解决问题．
4. 与面积相关的最值问题
与圆的面积的最值问题，一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法，基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解.
例4 动圆C经过点，并且与直线相切，若动圆C与直线总有公共点，则圆C的面积 .
思路分析：设出动圆圆心坐标与半径，根据条件找出半径与圆心满足的关系式，利用动圆C与直线总有公共点，列出某个量的不等式，求出其取值范围，从而求出圆的半径的取值范围,作出正确选择
【解析】设圆心为，半径为，，即，即，∴圆心为，，圆心到直线的距离为， ∴或，
当时，，∴.
点评：本题主要考查直线与圆的位置关系、转化与化归思想及运算求解能力，转化与化归思想是解题的关键.
5.圆上点的坐标满足关系式的最值或取值范围问题
本类问题有三种解题思路：
思路1：充分利用所给式子的几何意义，利用数形结合思想解题；
思路2：设所给式子等于z，代入圆的方程化为一元二次方程，利用判别式即可求出参数的范围；
思路3：利用圆的参数方程或消元法化为函数问题，利用函数求最值的方法求最值,注意留下变量的范围.
例5 实数x、y满足，则的最大值为 .
思路分析： 表示曲线上点到坐标原点距离，故可用消元法化为对于y的函数，再求最值.
解析：由题：，，因此，所以当时，取得最大值，故
点评：本题考查了消元法及函数的最值的求法，要掌握本类试题中一些式子的几何意义，如表示曲线上点与点（a,b）之间距离的平方；表示曲线上点与点（a,b）连线的斜率；注意将直线在坐标轴上的截距与z联系起来解题.
综上所述，解决与圆相关的最值问题的关键要善于利用数形结合思想，利用几何知识求最值，要善于利用转化与化归思想将最值问题转化为函数的最值求解.
四、问题的解决
1、设点P(x，y)在圆x2＋(y－1)2＝1上，求的最值．
【解析】的几何意义是圆上的点与定点(2,0)的距离．
因为圆心(0,1)与定点的距离是，圆的半径是1，
所以，的最小值是，最大值是.
（1）化为求斜率问题
求的最小值．
【解析】法一：令t，则方程组一定有解．消去y，整理得(1＋t2)x2＋2(t2－3t)x＋(t2－6t＋8)＝0有解．所以，Δ＝4(t2－3t)2－4(1＋t2)(t2－6t＋8)≥0，即6t－8≥0，解得t≥
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